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數學教師知識庫
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[推薦]數學教師知識庫的中心想法
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該用戶目前不在線 李源順 ::論壇管理員::

等級： 博士生
文章： 338
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來自： 北市師
(會mail給李源順) 回復排序:舊貼在前
數學教師學習教學的橋 -- 我的中心想法

研究者認為這個同事間互動的策略應該以討論教師最為關心的教學問題，也就是有關學生學習的教學問題，為出發點，以營造數學感教學 -- 讓學生對數學更有感覺 -- ，和診斷教學 -- 根除學生的錯誤概念 -- 為解決教師教學問題為中心想法，讓教師在同事互動的過程中，解決教師的教學問題，同時促進教師的專業發展。

1、營造數學感的教學
正如一位頂尖的音樂家必定對週遭的聲音感覺非常敏銳一樣，想要學好數學必需對數學的感覺非常敏銳。所謂對數學的感覺就是能從數學材料中抽取其直觀意義，它是一種高層次的思維。在數學教育研究上，對於整體數學感的研究少見，但學者(例如Resnick，1989；Sowder，1994)常對個別數學單元的感覺提出他的見解。在數感方面，Resnick(1989)認為數感是一種高層次的思維，它的思維網路連結的很快，因此傾向複雜而沒有一定的運算規則，它也包含多種解答方式、不同規準的應用；它能對結果的合理性做敏銳的判斷和詮釋，同時能在思考過程中自我調整。美國數學教師協會(NCTM)的數學課程和評量標準(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)(NCTM，1989)便認為數感就是能從各種數的意義中抽取出有關數的直觀。
如何培養學生對數學的感覺？依林福來(民86)的觀點，數學教師的教學，若能強調直觀，並且讓學生對所學的數學做合理的判斷與聯結，學生對數學的感覺便會加強。所謂合理判斷，就是對數學性質和問題能適時的提問合理的結果是什麼，以及結果為什麼是合理的。當學生對數學能做合理判斷時，他才能在思維過程中適時調整解題策略。學生想要合理判斷就必須要有數學家思維的主要特質，例如單位因次，對稱性，特殊化，一般化等思維能力，甚至對於數或算式也要能適時分解、組合，以了解其內涵，估算能力亦包括在內。所謂聯結，就是要能將數學概念與自然現象、生活經驗及過去所學概念聯結，如此數學的知識網路才會寬廣，才能對所學的數學有強烈的感覺。

2、診斷教學
診斷教學理論的承襲可以回溯到所謂的新式Piaget教學法(Bell，Costello & Kuchemann，1983)。Piaget認知發展理論的要點是人處理資訊的容量會隨年齡增加而增大，Case(1975，1978)據此提出假設“當學習者所處的學習環境，需求他掌握的資訊量超過他的能力時，就趨向發展出合理但過於簡化的解題策略”，就是所謂的學童法。面對學童法的錯誤，在教學設計時務須使用診斷教學策略，使學生有機會主動察覺自己錯了，造成認知上的不平衡，進而產生認知調整的需求。診斷教學法(Bell，1992)的理論特性如下:
   呈現的問題活動，要和學生以前的學習經驗相連結
   選擇的問題，要涵蓋關鍵的概念和可能的錯誤概念
 設計的活動，要能引起有錯誤概念的學生的認知衝突
 提供學生正確性的回饋
 針對所要化解的衝突徹底討論，並且形成新的整合性知識結構
 在所討論的課題內形成關鍵性原則，利用進一步的問題做回饋，以鞏固學生的概念
 利用彈性的問題，確保不同初始概念了解層次的學生都有適當的挑戰性
 在未來的學習過程中，適時重返相同的概念點(包括利用不同的脈絡)，直到產生持久且可遷移的了解。
林福來(民88)所主持的教學思維討論小組更進一步將診斷教學理論的實行，分為三個步驟：學生所犯錯誤的呈現，針對學生的錯誤進行認知衝突，以及調整學生認知的教學。教師對這三個步驟的表現方式又可細分如下：
(1)、錯誤概念
依教師對於學生的錯誤所表現的行動，分成四類：A. 教師採取忽視的行動，B. 教師理會學生所犯的錯誤，C. 教師直接告知學生會犯的錯誤，D. 教師能診斷學生的錯誤。
(2)、認知衝突
依教師對學生所犯的錯誤，是否有認知衝突的意圖，分為三類：A. 沒有意圖，B. 教師雖然有意圖，但未能對學生形成認知衝突，C. 已造成學生的認知衝突。
(3)、調整教學
依教師對學生的錯誤所做的教學行動，分為下列四類：A. 教師對學生的錯誤沒有處理，B. 教師僅進行程序性的教學，C. 教師能針對關鍵概念進行教學，D. 教師能利用有效教學策略使學生的認知再度平衡。

依據這三個步驟，所謂的診斷教學就是教師要能診斷學生容易犯的錯誤，設法利用認知衝突造成學生認知上的不平衡，之後再利用有效的教學策略使學生的認知再度平衡。


期望有個多元優選的教學

李源順(1999, 2000)對在職數學教師的三年長期觀察，發現參與教師的教學方式，在互動前偏向使用講述教學法的單一教學取向。在互動過程中，他們開啟了多元教學取向的新頁。參與教師因為關心學生的需求和考量學生的學習問題，而在互動後兩個月開始第一階段的嘗試多種教學策略。在第一年末，參與教師基於個人因素，對所嘗試的教學策略做出些許的取捨，而開啟了第二階段的改變，他們在教學上持續地使用多種教學策略。到了第三年開始和年末，由於兩位參與教師對多種教學策略的精緻運用缺少信心，而導致第三階段的改變，他們轉趨保守使用多種教學策略。綜觀參與教師的教學方式，都尚未到達專家教師能在不同教學脈絡下，評估各種教學法對學生學習的優劣，而使用適當教學策略的多元優選教學取向。參與教師教學多元化的階段性改變歷程，表徵如圖一。


[該文章於2002/9/13 上午 08:14:10被李源順編輯過]
　
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阿順
發貼時間:2002/9/12 下午 08:55:00 IP:163.21.*.*
該用戶目前不在線 莊博雅

等級： 碩士生
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來自： 世新大學
(會mail給莊博雅)

記得在以前唸小學的時候老師用的方法通常都是直接的講述教學..
很少去區分舊經驗與新觀念之間的連結...
通常老師都用她自己覺得最理想的方法去教學生..
真的就猶如老師今天在課堂上說的..老師說懂不懂..學生的反應大致上會說懂..
不懂也說懂..因為真的就只是學生..能不被繼續問下去就趕緊的躲開..

所以數學才會一直都是這麼爛...突然有感而發...
發貼時間:2005/11/14 下午 11:09:00IP:219.68.*.*
該用戶目前不在線 王羿婷

等級： 碩士生
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來自： 世新大學
(會mail給王羿婷)
回想過去學數學的經驗，小學的數學基礎似乎是建立在老師單向教學，老師教什麼就學什麼，也很少去想過為什麼，常常題型活一點，馬上班上的同學就錯一大半。所以，這樣的學習過程，嚴格來說應該是用半強迫式的學習。觀看教學觀模影片時，讓我感觸良多，如何教導小朋友接受數學的觀念，如為什麼要用"容器"，來解釋用來裝水的杯子，或是用來裝汽水的瓶子。老師必須想辨法，讓數學變得更有趣、更貼近小朋友的生活，如此一來，才能讓小朋友對於數學的思維，產生合理的判斷與聯連。
發貼時間:2005/11/9 上午 01:15:00IP:219.91.*.*
該用戶目前不在線 謝麗如

等級： 碩士生
文章： 46
積分： 96
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來自： 台北市
(會mail給謝麗如)
針對老師的文章，我也有所感觸，其實不只數學，老師們在任何教學，都應選擇多元優選的教學方式。例如:以下我轉貼網路上的一篇文章，想想看，如果我們要教小朋友上閱讀課時，我們會怎麼教呢

美國一所普通小學的一堂閱讀課－灰姑娘
好棒的老師！ 好棒的啟發式教育！
我們是幾歲的時候才想到這些層面？
 

上課鈴響了，孩子們跑進教室，這節課老師要講的是《灰姑娘》的故事。
 
老師先請一個孩子上臺給同學講一講這個故事。孩子很快講完了，老師對他表示了感謝，然後開始向全班提問。
 
老師：你們喜歡故事裏面的哪一個？不喜歡哪一個？為什麼？
 
學生：喜歡灰姑娘，還有王子，不喜歡她的後媽和後媽帶來的姐姐。灰姑娘善良、可愛、漂亮。後媽和姐姐對灰姑娘不好。
 
老師：如果在午夜１２點的時候，灰姑娘沒有來得及跳上她的南瓜馬車，你們想一想，可能會出現什麼情況？
 
學生：灰姑娘會變成原來臟臟的樣子，穿著破舊的衣服。哎呀，那就慘啦。
 
老師：所以，你們一定要做一個守時的人，不然就可能給自己帶來麻煩。
 
另外，你們看，你們每個人平時都打扮得漂漂亮亮的，千萬不要突然邋裏邋遢地出現在別人面前，不然你們的朋友要嚇著了。女孩子們，你們更要注意，將來你們長大和男孩子約會，要是你不注意，被你的男朋友看到你很難看的樣子，他們可能就嚇昏了（老師做昏倒狀，全班大笑）。
 
好，下一個問題：如果你是灰姑娘的後媽，你會不會阻止灰姑娘去參加王子的舞會？你們一定要誠實喲！
 
學生：（過了一會兒，有孩子舉手回答）是的，如果我是灰姑娘的後媽，我也會阻止她去參加王子的舞會。
 
老師：為什麼？

學生：因為，因為我愛自己的女兒，我希望自己的女兒當上王后。
 
老師：是的，所以，我們看到的後媽好像都是不好的人，她們只是對別人不夠好，可是她們對自己的孩子卻很好，你們明白了嗎？她們不是壞人，只是她們還不能夠像愛自己的孩子一樣去愛其他的孩子。
 
孩子們，下一個問題：灰姑娘的後媽不讓她去參加王子的舞會，甚至把門鎖起來，她為什麼能夠去，而且成為舞會上最美麗的姑娘呢？
 
學生：因為有仙女幫助她，給她漂亮的衣服，還把南瓜變成馬車，把狗和老鼠變成僕人。
 
老師：對，你們說得很好！想一想，如果灰姑娘沒有得到仙女的幫助，她是不可能去參加舞會的，是不是？
 
學生：是的！
 
老師：如果狗、老鼠都不願意幫助她，她可能在最後的時刻成功地跑回家嗎？
 
學生：不會，那樣她就可以成功地嚇到王子了。（全班再次大笑）

老師：雖然灰姑娘有仙女幫助她，但是，光有仙女的幫助還不夠。所以，孩子們，無論走到哪裏，我們都是需要朋友的。我們的朋友不一定是仙女，但是，我們需要他們，我也希望你們有很多很多的朋友。
 
下面，請你們想一想，如果灰姑娘因為後媽不願意她參加舞會就放棄了機會，她可能成為王子的新娘嗎？
 
學生：不會！那樣的話，她就不會到舞會上，不會被王子到，認識和愛上她了。
 
老師：對極了！如果灰姑娘不想參加舞會，就是她的後媽沒有阻止，甚至支持她去，也是沒有用的，是誰決定她要去參加王子的舞會？
 
學生：她自己。
 
老師：所以，孩子們，就是灰姑娘沒有媽媽愛她，她的後媽不愛她，這也不能夠讓她不愛自己。就是因為她愛自己，她才可能去尋找自己希望得到的東西。如果你們當中有人覺得沒有人愛，或者像灰姑娘一樣有一個不愛她的後媽，你們要怎麼樣？
 
學生：要愛自己！
 
老師：對，沒有一個人可以阻止你愛自己，如果你覺得別人不夠愛你，你要加倍地愛自己；如果別人沒有給你機會，你應該加倍地給自己機會；如果你們真的愛自己，就會為自己找到自己需要的東西──沒有人能夠阻止灰姑娘參加王子的舞會，沒有人可以阻止灰姑娘當上王后，除了她自己。對不對？
 
學生：是的！！！
 
老師：最後一個問題，這個故事有什麼不合理的地方？
 
學生：（過了好一會）午夜１２點以後所有的東西都要變回原樣，可是，灰姑娘的水晶鞋沒有變回去。
 
老師：天哪，你們太棒了！你們看，就是偉大的作家也有出錯的時候，所以，出錯不是什麼可怕的事情。我擔保，如果你們當中誰將來要當作家，一定比這個作家更棒！你們相信嗎？
 
孩子們歡呼雀躍。

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小小心得
不吝賜教
感恩大家
發貼時間:2005/11/1 下午 12:58:00IP:59.115.*.*
該用戶目前不在線 張怡玲

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來自： 你猜猜
(會mail給張怡玲)
我很同意書宏的說法:要如何讓小朋友一直維持著對於數學的興趣....真是一個很難的課題壓....

還記得我在念小學的時候，我對什麼科目都很有興趣，在評量方面也都有不錯的表現，但是，唯獨對數學不行，且不感興趣。或許，是因為本身沒有參與其中吧!老師們有時為了趕課，只想把課快點教完，讓學生能應付考試，但是，並未考慮到學生是否真的了解了。

又或許，是因為數學內容與生活經驗未結合吧!所以對數學提不起興趣。再者，可能是因為在數學方面沒有得到成就感，所以便對這個科目失去信心，甚至是不感興趣直到厭惡。

因此，往後若有機會站上台教學，期望自己能真正的去體察學生的想法、去了解學生要的是什麼，並確認他們是否了解了數學概念，當然，除了認知方面外，也希望能讓他們實地操作，讓他們能從操作中去了解概念，這樣，比較不會忘，也才能真正的內化成自己的知識。當然，考試是為了評量學生是否真正了解數學概念，而不是為了考倒學生，因此，希望自己能記得自己以前的經驗，要讓學生有成功的經驗，不要因為沒有成功的經驗而失去了對數學的興趣，甚至是厭惡數學。

當然，也期勉自己，能夠以多元教學的方式來讓同學了解數學概念，並以多元評量的方式來了解學生是否了解數學概念，並將數學與生活經驗結合，讓學生對數學感到興趣!
發貼時間:2005/9/24 上午 01:26:00IP:61.230.*.*
該用戶目前不在線 葉書宏

等級： 碩士生
文章： 44
積分： 106
存款： 0
來自： 世新大學教育學程
(會mail給葉書宏)

學習任何的事務...都需要熱情與興趣....

要如何讓小朋友一直維持著對於數學的興趣....

真是一個很難的課題壓....

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我是世新大學的學生

請多多指教
發貼時間:2005/9/21 下午 05:43:00IP:203.69.*.*
該用戶目前不在線 吳銘暉

等級： 碩士生
文章： 42
積分： 88
存款： 0
來自： 世新大學教育學程
(會mail給吳銘暉)
讀後心得：
1.要培養孩子對數學有敏銳的感感覺並不容易，但需要先了解為什麼學生會失去了學習動
  機？這才能解決學生對數學的興趣。
2.老師在上課時，為了上課進度的進行，對於學生的問題並不會全部加以回答，或是不要學
  生問，此時學生的想法的獨特性、創造性以及想像力，很容易被干擾，或是被否定，失去
  興趣。就算教師有在好的設計，學生還是一往如故。
3.老師必須維持學生的興趣，應隨時改變教學方法。學生們生性好動，對活動特別感興趣，
  一旦主動的參與過了，他們的興趣就更容易保持於一個高的標準。再者，如果學生相信學
  習是生活上所必要的時候，他就會努力去學習，老師想提高學生最高的動機，就要盡可能
  的使學生明瞭數學的立即價值。
發貼時間:2005/9/20 下午 03:22:00IP:163.20.*.*
該用戶目前不在線 石婉筠

等級： 碩士生
文章： 71
積分： 143
存款： 0
來自： 世新大學
(會mail給石婉筠)
讀後心得：
    1.要培養孩子的數學感不容易，老師除了要不斷的嘗試之外，也要累積相當的教學經驗，畢竟，有時候連老師都無法在看到一個數學題目時，作出正確的判斷及合理的連結，何況是學生？
    2.而製造學生在學習上的認知衝突，也不是那麼容易，有些需要設計，而有些則可以透過問答的方式，來引起學生的衝突，後者似乎較容易，而前者，我認為除了要對教材熟悉之外，老師也要有累積相當的經驗，並且不斷的嘗試哪些課適用哪些教學方式。
    3.至於李老師的研究結論，的確是身為老師該檢討的地方，但願每位老師都能朝該目標邁進，不斷的修正自己的教學策略，讓學生得到最大的收益。
發貼時間:2005/1/12 上午 09:32:00IP:163.19.*.*
該用戶目前不在線 陶瑋珍

等級： 碩士生
文章： 42
積分： 86
存款： 0
來自： 你猜猜
(會mail給陶瑋珍)
這篇文章對自己來說收穫很多:

1.常常我們做許多事都會要求一個感覺,
  沒想到直覺想來理性的數學也有"數學感"這樣的體會.
  如果我們能在知情意上營造一個環境讓學生經歷數學的感覺
  對大多數學生來說應可以提升他們對數學的興趣和能力

2.在認知衝突這個部份也有一些想法....
  以前我們都希望一開始就給學生正確的解答
  避免給他們"不對的""錯誤的"
  但是沒想到先有了錯的東西在學生心裡
  可以製造衝突增加印象
  同時引起探索的慾望
  
結論是看完這篇很有同感
    

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光靠熱情是不足以去愛的
發貼時間:2005/1/9 下午 11:13:00IP:219.84.*.*
該用戶目前不在線 汪

等級： 幼兒園
文章： 1
積分： 2
存款： 0
來自： 你猜猜
(會mail給汪)


[該文章於2004/12/11 上午 12:09:50被汪編輯過]
發貼時間:2004/12/10 上午 11:34:00IP:10.112.*.*
該用戶目前不在線 廖婉倩

等級： 博士生
文章： 162
積分： 342
存款： 0
來自： 你猜猜
(會mail給廖婉倩)
有關數學感教學
數學感的教學對孩子的數學學習的確很重要.孩子如果願意思考.會做合理的判斷.相信能提升孩子對數學的興趣.但是我也相信在教學的過程中.如能{賞識}孩子任何有關課程的思考發表.將教材和生活連結.孩子只要覺得好玩有趣有成就感.相信他就能常思考.持續的學習數學.
發貼時間:2004/11/22 下午 03:30:00IP:218.162.*.*
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