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東亞第一本微積分課本

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leeys 發表於 2022-3-23 18:46:41 | 顯示全部樓層 |閱讀模式

管理員|主題 |帖子 |積分 1萬

東亞第一本微積分課本(The First Calculus Textbook in East Asia)
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
中國清朝數學家李善蘭  (1811-1882)  在 1859 年與英國傳教士偉烈亞力 (Alexander Wylie) 合作,翻譯了羅密士 (Elias Loomis, 1811-1899) 的 Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus (1850),中譯版書名命為「代微積拾級」(*),強調本書依序講述「代(數)」(解析幾何)、「微(分)」與「積(分)」,「拾級」而上。
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(*) 게시자 주: 다음의 주소에 접속하면, 이 책을 들여다볼 수 있다:
http://ch.catholic.or.kr/pundang/4/cb/1810-1882_이선란/1859_代微積拾級.pdf
下載
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事實上,李善蘭在譯序中即指出:「羅君密士合眾之天算名家也。取代數、微分、積分三術合為一書,分款設題,較若列眉,嘉惠後學之功甚大。……是書先代數次微分、次積分,由易而難,若階級之漸升。譯既竣,即名之曰代微積拾級。」
代微積.png
代微積拾級(圖片來源:http://pmgs.kongfz.com)

此外,偉烈亞力也在譯序中,點出此書中譯的脈絡意義:「微分積分,為中土算書所未有,然觀當代天算家,如董方立氏、項梅侶氏、徐君青氏、戴鄂士氏、顧尚之氏,暨李君秋紉,所著各書,其理有甚近微分者,因不用代數式,或言之甚繁推之甚難,今特偕李君譯此書,為微分積分入門之助。」
上引文提及之天算家依序為董祐城、項名達、徐有壬、戴煦、顧觀光以及李善蘭,都是十九世紀中國清代數學名家。不過,他們的共同「不足」,顯然如偉烈亞力所說的,由於「不用代數式」,因此,才會顯得「言之甚繁,推之甚難」,從而可見解析幾何這一理論系統的不可或缺。
這或許也解釋了何以偉烈亞力推薦此書之中譯,因為本書之前九卷,即是解析幾何之內容,而這當然是微積分的先備知識。不過,在本書中,英文原文中的 analytical geometry(解析幾何)一概翻譯為「代數幾何」。
其次,微分有七卷(卷十到十六)。其中,羅密士主要運用微係數 (differential coefficient) 來表示我們今日所謂的導數 (derivative):「函數與變數之比例,俱謂之微分,用ㄔ號記之。如戌 =  天三,則得比例ㄔ天 : ㄔ戌 :: 一 : 三天二。ㄔ天、ㄔ戌為天與戊之微分。後皆仿此。用表天與戌之變比例,以一、四兩率相乘,二、三兩率相乘則得ㄔ戌 =   三天二ㄔ天,此顯函數戌之變比例,等於三天乘變數天之變比例,以ㄔ天約之得ㄔ天/ㄔ戌 =   三天二。此顯變數之變比例約函數之變比例,等於函數之微係數也。」
上述引文有必要解釋或註解一下。李善蘭與偉烈亞力將函數 u=f(x)  中的 u  記作戌,x  記作天;u=x3  記作戌 =  天三;微分記號 d  「翻譯」為漢字記號ㄔ,顯然他擷取了「微」字的部首「ㄔ」。因此,「ㄔ天 : ㄔ戌 :: 一 : 三天二」即相當於「dx:du=1:3×2  」。還有,由於當時的分數之分子、分母之位置,恰好與目前習慣相反,亦即分子置於下,分母置於上,於是,du/dx  才會譯為ㄔ天/ㄔ戌。
根據上述引文,針對任何一個函數 y=f(x)  而言,羅密士先求出 dy=f(x)dx  ,然後,再得到 dy/dx=f(x)  。如此一來,他可以避開導數之定義中,[f(x+h)−f(x)]/h  之分子與分母同時趨近於零的論證難題。後者不待外爾斯特拉斯(Karl Weierstrass)所領導的柏林學派之分析算術化 (arithmetization of analysis),而提出極限的 ε−δ  定義,是無法解決的。在1872年,外爾斯特拉斯的徒弟漢內(Heine)在老師的上課筆記中,總結了微積分理論的嚴密化工作。
羅密士擁有LL. D(法學博士),出版這一本教科書時,正擔任紐約市立大學的數學與自然哲學教授 (Professor of Mathematics and Natural Philosophy, the University of the City of New York)。不過,當時美國仍然是國際數學社群的邊陲地帶,大學教師的主要著作都是類似微積分這種大學教科書。
儘管如此,本書英文原著迄至1859年為止,已經出版到第10版,足見它相當受到大學教師的青睞。羅密士也承認本書「並非為了數學家、也不是為了那些擁有特殊天分或是數學的愛好者,而是為廣大中等資質的大學生而寫。」這或許也是本書英文原版暢銷的原因之一吧。其實,就今日標準而言,本書除了例題比較「老套」之外,體例與內容還是蠻適合充當非數學、物理主修的大學生之微積分教材。
本書還有一個特色,那就是:相對於七卷的微分內容,積分只有兩卷!〈積分一總論〉一開始內容如下:「積分為微分之還原,其法之要在識別微分所由生之函數,如已得天二之微分為二天ㄔ天,則有二天ㄔ天即知所由生之函數為天二,而天二即為積分。已得微分所由生之函數為積分,而積分或有常數附之,或無常數附之,既不能定,故式中恆附以常數,命為口丙,口丙或有同數或為 0  ,須攷題乃知。來本之視微分若函數諸小較之一,諸小較并之,即成函數,故微分之左係一禾字,指欲取諸微分之積分也。如下式 禾二天ㄔ天 =   天 +   口丙。來氏說,今西國天算家大率不用,而惟用此禾字取其一覽了然也。」
在上述引文中,李善蘭與偉烈亞力將Leibniz翻譯為「來本之」,同時,積分記號 ∫  (一個拉長的S)則譯為「禾」,它取自「積分」的積字之偏旁部首「禾」。羅密士指出:儘管「今西國天算家大率不用」「來氏說」(philosophy of Leibniz),「而惟用此禾字」,「取其一覽了然也」。在這個脈絡中,羅密士未曾獨立地定義定積分 (definite integral),而是通過不定積分 (indefinite integral) 來定義,這省掉了定義定積分的麻煩,值得稱道。

參考書目
  • Horng, Wann-Sheng (1991). Li Shanlan: The Impact of Western Mathematics over China in the late 19th Century. Ph. D. Thesis, City University of New York.
  • Loomis, Elias (1859). Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus. New York: Harper & Brothers, Publishers.
  • 羅密士撰(偉烈亞力口譯,李善蘭筆述)(1859).《代微積拾級》,上海:墨海書館。
  • http://ch.catholic.or.kr/pundang/4/cb/1810-1882_%EC%9D%B4%EC%84%A0%EB%9E%80/%E6%9D%B1%E4%BA%9E%E7%AC%AC%E4%B8%80%E6%9C%AC%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E8%AA%B2%E6%9C%AC.htm

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