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假幣問題

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leeys 發表於 2021-3-16 15:07:10 | 顯示全部樓層 |閱讀模式

管理員|主題 |帖子 |積分 1萬

只知道有一個假幣, 其他都是真幣有n個, 不知道輕或重
用天平來秤, 最少幾次可以確定假幣?
n=2, 3,4 5, .
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陳冠廷2@G 發表於 2021-3-16 15:40:23 | 顯示全部樓層

新手上路|主題 |帖子 |積分 47


N=2 兩次
將任意2個放上去 如果平衡 那剩下的那個一定假的
如果依輕一重 那將其中一個取走 換上另一個 平衡=取走的是假的  不平衡那剛剛留下的是假的
N=3 兩次
將任意取2個放上去 平衡 將剩下2個隨便取一個跟其中一邊換 平衡 那剩下那個是假的 不平衡 剛剛那個假的
N=4 3次
假設有a,b,c,d,e 5個硬幣 取(a,b),(c,d) 如果平衡 那e一定假的,
那不平衡的話  將c,d拿來秤 如果平衡的話 將b,c拿來秤 平衡的話a是假的 不平衡的話b是假的
                                       如果不平衡的話 一樣將b,c拿來秤 平衡的話d是假的 不平衡的話c是假的
n=5 3次
假設有a,b,c,d,e,f 6個硬幣 取(a,b),(c,d) 如果平衡 將e 跟a秤 不平衡的話e是假的 如果平衡f是假的
                                      那不平衡的話  將c,d拿來秤 如果平衡的話 將b,c拿來秤 平衡的話a是假的 不平衡的話b是假的
                                       如果不平衡的話 一樣將b,c拿來秤 平衡的話d是假的 不平衡的話c是假的            
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 樓主 leeys 發表於 2021-3-16 15:49:31 | 顯示全部樓層

管理員|主題 |帖子 |積分 1萬

RE: 假幣問題

假幣問題及其解法


假幣問題  整數的3進制  砝碼組合
1. 引言

所謂「假幣問題」(又稱「12錢幣問題」), 是指有12枚錢幣, 其中有一枚是假幣, 它與真幣的形狀相同, 但重量不相同。如果容許以天平稱量3次, 但不可使用砝碼, 怎樣可判別出哪一枚才是假幣? 並確定它比真幣較重還是較輕?

這是一個經典的數學謎題, 曾在Beasley(1990)及趙文敏(1995)所著的趣味數學書中介紹過, 其本質與Bundy(1996)所討論的Odd Ball Problem屬同類問題, 但三人的解法不一樣。 本文將介紹另一種簡單的解法, 讀者只須對3進制有基本的認識便可以理解。

2. 解法及其原理

要找出那一枚是假幣, 可採用以下的步驟進行:

  • 首先, 以整數1至12為每個錢幣編上一個互不相同的號碼。
  • 然後, 把每個編號化成3進制, 並以 −1−1, 0 或 1表示每個位出現的數值。 如下所示:
    1=(0,0,1)3
  • 7=(1,−1,1)3
  • 2=(0,1,−1)3
  • 8=(1,0,−1)3
  • 3=(0,1,0)3
  • 9=(1,0,0)3
  • 4=(0,1,1)3
  • 10=(1,0,1)3
  • 5=(1,−1,−1)3
  • 11=(1,1,−1)3
  • 6=(1,−1,0)3
  • 12=(1,1,0)3"

接著, 把這些3進制的數值, 從右至左, 看成是每次秤量時擺放在天平上的位置: 1表示放置於左邊, −1−1 表示放置於右邊, 而0表示兩邊都不放置。 那麼, 可以初步得出錢幣的擺放位置如下:[td]
秤量次序置於左邊的錢幣置於右邊的錢幣
第三次5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
第二次2, 3, 4, 11, 125, 6, 7
第一次1, 4, 7, 102, 5, 8, 11
  • 由於此時在天平的左、右所放置的錢幣數目不相同, 所以需要把某些錢幣的位置變動一下。 怎樣進行呢? 我們可以把整數1至12的3進制表示法以直列的方式記錄, 觀察每一橫行中1與 −1−1 的數目是否相同, 然後作一些適當的變動。如下表所示:
    錢幣123456789101112
    高行000011111111
    中行0111-1-1-100011
    低行1-101-101-101-10

可以看到, 中行和高行中出現的1過多。我們可以選擇把某些直行中的數字的正、負號由正變負, 或由負變正, 使得在高、中、低行中出現的 1 與 −1−1 的數目相等。 譬如, 如果把直行 7, 9, 11, 12 中的數字的正、負號改變, 則表中的數值會變成:
錢幣1234567
∗∗
89
∗∗
1011
∗∗
12
∗∗
高行000011-11-11-1-1
中行0111-1-11000-1-1
低行1-101-10-1-10110
(註: 有 ∗∗ 號的數字是指曾被改動過正、負的數字。) 此時, 每一橫行中的1與 −1−1 的數目都各有4個 1 , 從而讓我們確定了每個錢幣最終的擺放位置如下:[td]
秤量次序置於左邊的錢幣置於右邊的錢幣
第三次5, 6, 8, 107*, 9*, 11*, 12*
第二次2, 3, 4, 7*5, 6, 11*, 12*
第一次1, 4, 10, 11*2, 5, 7*, 8

由於在每次秤量中, 天平的狀態只有三種, 分別是「左重」(L)、「右重」(R)或「平衡」(#), 而秤量的結果一定不會出現「三次皆平衡」、「三次皆左重」或「三次皆右重」 2 的情況, 所以不同秤量結果的數目是:

−1−1 與 0 作「一一對應」的話, 那麼透過3進制的表示, 我們便可以知道何者是假幣, 以及知道它比真幣較輕還是較重。 為甚麼呢? 我們不妨用一個簡單的例子加以說明: 假設錢幣6是一個假幣, 而且它比真幣較重。 由於它在秤量時的罷放位置是以 (1,−1,0)(1,−1,0) 來表示, 故其稱量結果將會是(L, R, #)。 反過來說, 如果稱量的結果是(L, R, #), 它的3進制表示(1,−1,0)(1,−1,0) 會唯一地 3 確定了假幣的編號是6, 而且由於天秤下墜的方向與它在天秤出現的位置是一致的, 所以知道它比真幣較重。 另外, 如果錢幣6是一個假幣, 而它比真幣較輕。 因為它在秤量時的罷放位置是以(1,−1,0)(1,−1,0) 來表示, 故其稱量結果將會是(R, L, #)。 反過來說, 如果稱量的結果是(R, L, #), 它的3進制表示 (−1,1,0)(−1,1,0) 4 會唯一地確定了假幣的編號是6, 而且由於天秤下墜的方向與它在天秤出現的位置是相反的, 所以知道它比真幣較輕。

應用類似上述的分析, 我們可以對所有可能出現的結果作以下的結論:


天秤下墜
的方向
天秤下墜
方向的3
進制表示
天秤下墜
方向的10
進制表示
結論






1##L(0, 0, 1)1假幣是1號, 它比真幣較重。
2##R(0, 0, -1)-1假幣是1號, 它比真幣較輕。
3#LR(0, 1, -1)2假幣是2號, 它比真幣較重。
4#RL(0, -1, 1)-2假幣是2號, 它比真幣較輕。
5#L#(0, 1, 0)3假幣是3號, 它比真幣較重。
6#R#(0, -1, 0)-3假幣是3號, 它比真幣較輕。
7#LL(0, 1, 1)4假幣是4號, 它比真幣較重。
8#RR(0, -1, -1)-4假幣是4號, 它比真幣較輕。
9LRR(1, -1, -1)5假幣是5號, 它比真幣較重。
10RLL(-1, 1, 1)-5假幣是5號, 它比真幣較輕。
11LR#(1, -1, 0)6假幣是6號, 它比真幣較重。
12RL#(-1, 1, 0)-6假幣是6號, 它比真幣較輕。
13RLR(-1, 1, -1)-7假幣是7號, 它比真幣較重。
14LRL(1, -1, 1)7假幣是7號, 它比真幣較輕。
15L#R(1, 0, -1)8假幣是8號, 它比真幣較重。
16R#L(-1, 0, 1)-8假幣是8號, 它比真幣較輕。
17R##(-1, 0, 0)-9假幣是9號, 它比真幣較重。
18L##(1, 0, 0)9假幣是9號, 它比真幣較輕。
19L#L(1, 0, 1)10假幣是10號, 它比真幣較重。
20R#R(-1, 0, -1)-10假幣是10號, 它比真幣較輕。
21RRL(-1, -1, 1)-11假幣是11號, 它比真幣較重。
22LLR(1, 1, -1)11假幣是11號, 它比真幣較輕。
23RR#(-1, -1, 0)-12假幣是12號, 它比真幣較重。
24LL#(1, 1, 0)12假幣是12號, 它比真幣較輕。

由這個表可見, 如果把秤量結果的3進制表示化成10進之後, 它的絕對值便是假幣的編號。 另外, 如果所得的10進數是 1, 2, 3, 4, 5, 6,±12±12 是例外, 其他所得數值的正、負號正好對應著假幣是「較重」或「較輕」的情況。 有了這種認知, 會有助於我們快速和正確地判斷出何者是假幣, 以及知道它比真幣較輕還是較重, 而不需要利用上表去查看結果。以下是一些具體的示例:

例一: 假設秤量所得的結果是: 第一次是左重、第二次是右重, 而第三次是平衡。 它對應的3進數是 (0,−1,1)3=0×9+(−1)×3+1=−2(0,−1,1)3=0×9+(−1)×3+1=−2。 由此可知錢幣2是假幣, 它比真幣較輕。

例二: 假設秤量所得的結果是: 第一次是右重、第二次是平衡, 而第三次是左重。 它對應的3進數是(1,0,−1)3=1×9+0×3−1=8(1,0,−1)3=1×9+0×3−1=8。 由此可知錢幣8是假幣, 它比真幣較重。

例三: 假設秤量所得的結果是: 第一次是左重、第二次是右重, 而第三次是左重。 它對應的3進數是 (1,−1,1)3=1×9+(−1)×3+1=7(1,−1,1)3=1×9+(−1)×3+1=7。 由此可知錢幣7是假幣, 它比真幣較輕。

3. 結語及其他問題

總括而言, 本文所介紹的方法, 是運用了整數的3進制表示的唯一性。 解法簡單, 而且其思維方式可以應用到其他類似的數學問題上去。 譬如, 以下的兩個問題, 都可以運用3進制的方法求解 5 , 讀者不妨動手一試:


問題一: 如果只可以用4塊不同重量的砝碼, 去秤出由1至40磅中各不同的整數重量, 問該4塊砝碼的重量應分別是多少?

問題二: 有1克, 3克, 9克, 27克, 81克和243克的砝碼各一個。 如果把一件重200克的物件放置於一個天平的右邊, 如何把上述砝碼置於天平之上, 才可以令天平的左、右平衡?

參考文獻   J. Beasley (1990), The Mathematics of Games. Oxford University Press.   B. Bundy (1996), The Odd Ball Problem, Mathematical Spectrum, 26, 14-15.   趙文敏 (1995), 寓數學於遊戲, 第一輯, 九章出版社。

---本文作者現任教於香港教育學院數社科技學系---




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