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數學教師知識庫--李源順

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河內塔的變形 -- 雙塔

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leeys 發表於 2016-1-17 20:38:02 | 顯示全部樓層 |閱讀模式

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陳家聲 發表於 2018-6-25 11:35:49 | 顯示全部樓層

註冊會員|主題 |帖子 |積分 149

利用遞迴關係式算式:

f(1)=1

f(2)=2f(1)+1=3

f(3)=2f(2)+1=7

f(4)=2f(3)+1=15

觀察前幾項,我們推測 f(n)=-1

現在用數學歸納法證明:

滿足(A)是之f(n)必為f(n)=-1(n=1,2,3…)

(i) n=1,f(1)=-1=1 所以,當n=1時,f(n)=-1成立。

(ii)設n=k時,f(k)=-1成立,則由遞迴關係式知:

f(k+1)=2f(k)+1=2(-1)+1=-1

所以n=k+1時,f(n)=-1也成立。

由數學歸納法知:f(n)=-1對n=1,2,3…都成立。

因此,將64個金盤移到另一根銀棒上,最少需搬-1次。
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