leeys 發表於 2019-10-2 10:25:13

圓錐曲線和二元二次方式的關係

1. 舉一個例子說明圓、橢圓、抛物線、雙曲線是二元二次方程式

2. 反過來, 二元二次方程式只有上面的四種嗎? 若有, 請證明; 若沒有, 請舉例 (儘可能的羅列)或者證明。

龍昶維 發表於 2019-10-8 23:58:38

圓 (X-3)²+(Y-5)²=4
拋物線 (Y-3)²=4(X-1)
直橢圓 X²/3²+Y²/2²=1
橫橢圓 X²/3²+Y²/2²=1
雙曲線(橫) X²/3²-Y²/2²=1
雙曲線(直) X²/3²-Y²/2²=1

不只上面四個選項
由判別式判斷
大於0 雙曲線 兩相交直線
小於0 拋物線 一直線 空集合 兩平行線
等於0 橢圓與圓 空集合 一點
         

許菀庭 發表於 2019-10-9 00:55:02

老師您好
我們這組的成員有:許菀庭、楊宛臻、吳牧茵、廖瓊婷
圓 (x+c/2)2+(y+d/2)2=c2/4+d2/4-e
拋物線 y2=4cx
橢圓 (a2-c2)+a2y2=a2(a2-c2)
雙曲線 (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)
由以上可知皆為二元二次方程式

由判別式判斷出應該是只有以上四種選項

劉玟汝 發表於 2019-10-9 01:18:32

RE: 圓錐曲線和二元二次方式的關係

老師您好,我們這組有江孟璇u10705004、陳昱瑄u10705006、吳永婕u10705035、劉玟汝u10505045

1.圓形:假設圓心為(3、3),半徑為3,則方程式為(X-3)²+(Y-3)²=6,展開方程式為X²+Y²-6x-6y=18

橢圓形:假設焦點為F1(0,1)、F2(4,1),橢圓上任一點到兩焦點的距離合為6,則方程式為√X²+(Y-1)²+√(X-4)²+(Y-1)²=6

拋物線:假設拋物線的焦點為F(3,-1),準線為L:y=-5,則此方程式為X²-6X-8Y-15=0

雙曲線:假設雙曲線兩焦點為F1(0,1)、F2(4,1),其上任一點到兩焦點的距離差為2,則此方程式為√X²+(Y-1)²+√(X-4)²+(Y-1)²=2

2.除了上述四項二元二次方程式外,另有其他五個圖形也是二元二次方程式:
二相交直線(X+Y+1)(X-2Y-2)=0
二平行直線(X-Y+1)(X-Y+2)=0
一直線(X-Y+1)²=0
一點(X-2)²+(Y-3)²=0
沒有圖形(X-2)²+(Y-3)²=-1
且這五項圖形為退化的圓錐曲線

蔡定濬 發表於 2019-10-9 02:41:12

本帖最後由 蔡定濬 於 2019-10-9 03:18 編輯

老師您好,我們這組的成員有蔡定濬、楊詠文、邱韻柔、簡君育
Ans 1
Ⅰ、圓:圓的標準式為(x-h)²+(y-k)²=r²,圓心為(h,k),半徑為r。現假設圓心為(0,0),半徑為5,得x²+y²=25`,可知圓為二元二次方程式。
Ⅱ、 橢圓:橢圓的標準式為x²/a²+y²/b²=1[左右型]與x²/b²+y²/a²=1[上下型],兩焦點為(c,0)與(-c,0),a²-c²=b²。現假設a為5,c為3,則各可得x²/25+y²/16=1與x²/16+y²/25=1,可知橢圓二元二次方程式。Ⅲ、拋物線:拋物線的標準式為(x-h)²=4c(y-k)[上下型]與(y-k)²=4c(x-h)[左右型],頂點為(h,k)。現各假設頂點座標均為0,焦距為2,則各可得x²-8y=0與8x-y²=0,可知拋物線為二元二次方程式。

Ⅳ、雙曲線:雙曲線的標準是為(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1[左右型]與(y-k)²/a²-(x-h)²/b²=1,中心點為(h,k),貫軸長為2a,共厄軸長為2b,兩焦點距離為2c且c²=a²+b²。現假設中心點為(0,0),貫軸長為3,共厄軸長為4,則各可得x²/9-y²/16=1與y²/9-x²/16=1,可知雙曲線為二元二次方程式。

Ans 2
一點 x²+y²=0,則為點(0,0)無圖形 x²+y²=-1
重合兩直線:(x+y+1)²=0 ,可知為線x+y=-1
平行兩直線:(x+y+1)(x+y-1)=0 ,可知x+y=-1或x+y=1,為兩平行線
相交兩直線:(x+y-1)(x-y+1)=0,可知x+y=1,x-y=-1,為兩相交直線
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