leeys 發表於 2016-1-25 16:19:27

圓柱的側面展開圖是什麼形狀?

2016年1月15日 9:40
各位師長
我們最近在討論一個問題,我們的課綱,在立體形體的內容偏少,因此大不是很熟悉。
有一個好問題, ,小學剛考完試。老師們或許可以讓學生實作一下,也希望有教的老師到這邊和大家分享一下。
我們課本上都寫, 直圓柱的側面展開圖, 是長方形。問題是直圓柱的側面展開圖, 可否可能是平行四邊形?
1 請學生剪一張平行四邊形, 看能不能捲成圓柱?
2. 反過來, 是什麼樣的圓柱體(直圓柱或斜圓柱,或其它)?怎麼剪成才會剪成平行四邊形?
3. 找半徑比較大的吸管, 先勸成直圓柱, 再剪剪看。
4. 把較大的吸管先剪成斜圓柱的樣子。再把側面剪開來, 看一下, 展開圖是什麼形狀。
5. 反過來,同樣的問題, 什麼樣的平面圖形,才可以捲成斜圓柱?
6. 同樣的問題, 長方體的側面, 可不可能剪開展開後變成平行四邊形?


A: 查了一下國中的三個版本,大概是以下這樣的內容:直圓柱的展開圖「可以是」兩個圓加上一個長方形...或是「如果」將圓柱的側面展開成一個長方形...。其中,也有看到將圓柱側面展開平行四邊形的圖形...


B:
曾經和學生討論並實作過斜圓柱的展開圖以及將紙剪成什麼樣的圖形可以圍成斜圓柱,大家看到S型的邊緣都感到很驚奇!


C:老師~根據今日課堂中學生的回饋,第4點,活動中有一個思考的面向,就是直切與斜切。實際將斜圓柱的吸管直切展開圖確實是同向曲形,但是若式斜切,則展開圖就有很多種樣貌○若是做個歸納,最後我的總結是,考慮廣義的展開圖,可以增加切的方式思考面以增強學生對於名詞與名詞間的思考面向的聯結


李源順 你知道嗎? 斜圓角柱的側面展開圖, 居然和三角函數有關。想一想, 為什 麼會合理呢?

https://www.facebook.com/groups/298755693666799/
http://www.mtedu.utaipei.edu.tw/forum.php?mod=attachment&aid=OTA5MHxkYzA5MWM3MXwxNTI4MDgyODc4fDEyMXwyMzQw[=]


leeys 發表於 2016-1-25 19:39:41

RE: 圓柱的側面展開圖是什麼形狀?

2016.01.13 星期三
09:08 A 請問老師,在國小課本中討論圓柱的側面與底面有垂直嗎?
09:08 A 請問老師,在國小課本中討論的圓柱的側面與底面有垂直嗎?
09:11 A 有學年老師認為因為是曲面,所以沒有垂直,這樣的看法對嗎?
09:19 B 圓柱的側面是長方形,側面和底面垂直,這兩個性質課本都有提到
09:23 R B老師, 可以說出理由嗎?數學的重點在說道理。請大家討論一下, 如何?
09:23 D 六上的康軒角柱有指明有垂直 側面和底面
09:23 D 老師會覺得問題在曲面
09:24 D D師說的長方形是展開圖
09:26 D 所以從平面言申到立體時 就從法線切近來
09:27 D 國小六上課本沒直接說圓柱側邊有垂直
09:28 D 但六下的柱體體機求法不就有用到垂直嗎
09:29 D 綜上
09:30 D 圓柱側面是長方形 任意的垂直線會平形
09:31 D 他會垂直於底面的水平線
09:40 R A, 妳什麼時候想知道我的看法?
09:41 A 因為月考考卷出了一題類似題,所以,再麻煩李老師
09:49 A 教授不好意思!學年老師剛才決定該題送分,期末忙碌,所以教授有空再回覆即可
09:52 R 1. 要留意定義的問題: 其實在數學上有所的直圓柱, 斜圓柱, 就像角柱一樣, 有所的正角柱、直角柱、斜角柱。(看我的書)小學課本只討論直圓柱、直角柱, 又簡稱圓柱(其實, 我比較喜歡正名, 就稱直圓柱, 有什不好? 學生才不會有迷思概念, 以及什麼都是直的)
09:53 R 2. 在直圓柱的定義下, 用直觀的方法看直圓柱, 側面有沒有和底面垂直? 有
09:54 R 3. 問題在垂直的定義是什麼? 課本上只有兩直線垂直的定義, 平面與直線, 平面與平面的垂直定義(而且沒有說得很清楚, 因此, 直觀就很重要)
09:55 B 圓形的側面展開圖是長方形,圓形側面立體形狀是曲面沒錯。在國小教學上都是從生活中去找例子,例如建築物的圓柱,可樂罐等等,側面和底面是有垂直,至於確實的定義還是請教李教授。
09:58 R 4. 因此此問題已超過課本的學習範圍, 必需對曲面與平面的垂直下定義。那是大學數學系學生要學的範疇。因此送分是好的, 因為已超過所學的範圍。
10:01 R 5. 曲面與平面的垂直問,題,. 確實的定義要查。但可以直覺的看, 與平面垂直的直線是否全面在曲面上或者全部不在曲面上, 是。
10:02 R 6. 談空間中的問題, 不要隨便變成展開圖, 性質變了, 學生可能還不知道
10:04 R 7. 圓柱體體積, 我們用底面積乘以高, 因為我們都給直圓柱, 因此側面的高, 就是高。其實斜圓柱公式也一樣, 只是高, 不是側面的長度而已。斜圓柱的側面展開之後是什麼形狀? 很難哦。
10:05 R 最後, 請所有老師們注意。1. 定義, 2. 直觀, 3. 合理論證: 為什麼(第四核心內涵)。
10:08 A 謝謝教授,我們當初審題不夠仔細,再加上大家都是初任教師,專業不足,所以很需要高人的解惑。(我會再把您的書拿出來看)
10:09 B 感謝 教授的指導,教學談空間的問題確實容易變成展開圖的平面方向


10:22 E 謝謝教授詳盡的說明。
10:25 B 圓   柱
正圓柱:       
所謂的圓柱就是頂面和底面是同樣半
徑(r)的圓,並且兩圓圓心的連線和頂
面、底面互相垂直,並且我們可以得
知,圓柱側面展開圖是長方形。
柱高:h
圓半徑:r
側表面積:S
總表面積:T
體積:V
S=2Πrh
T=2Πr(r+h)
V=Πr2h
A=B=Πr2



斜圓柱:       
所謂的圓柱就是頂面和底面是同樣半
徑(r)的圓,兩圓圓心的連線和頂面、
底面不互相垂直,並且我們可以得知
,圓柱側面展開圖是平行四邊形形。
S=2Πrh
T=2Πrh+2Πr2
V=Ah=Bh=Πr2h
10:25 B 柱體.pdf
10:26 B 以上是網路上查到的供大家參考

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